C02: the 18-vertex route obstruction

令 $V₀=Fin\,18$，并令 $K₀$ 为 H 0：对 $u,v∈V₀$，它们相邻当且仅当 $u≠v$ 且 $D₀(u.val,v.val)∨D₀(v.val,u.val)$，其中 $D₀(a,b)$ 当且仅当 $(a,b)$ 属于 $(0,1),(0,5),(1,2),(1,6),(2,3),(2,7),(3,8),(4,6),(4,7),(5,7),(5,8),(6,8)$ 之一，或 $9≤a$ 且 $b=a+1$ 或 $b=a+5$，或 $a=0∧b=9$，或 $a=3∧b=17$，或 $a=4∧b=13$。定义对任意 $V₀$ 上的简单图 $X$，$d_X(v)$ 为 $X$ 中 $v$ 的邻居数，$o_X(v)$ 为从 $v$ 在 $X$ 中可达的顶点数，并令 $C_M$ 的边恰为 $K₀$ 的边中不属于 $M$ 的边。该定理声明以下四个命题的合取：每个 $v∈V₀$ 满足 $d_{K₀}(v)=3$；$4≤Fintype.card V₀$ 且对每个有限子集 $S⊆V₀$，$S.card≤2$ 时 $K₀$ 在满足 $v∉S$ 的 subtype 上的诱导图连通；存在自然数 $b$ 和双射 $Fin\,b×Fin\,3≃V₀$，使每个 $i∈Fin\,b$ 的位置 $0$—$1$ 和位置 $1$—$2$ 两对在 $K₀$ 中相邻；并且不存在任何简单图 $M$ 使每条 $M$ 边都是 $K₀$ 的边、每个顶点有恰好一个 $M$ 邻居、每条 $C_M$ 边都是 $K₀$ 的边、每个顶点有恰好两个 $C_M$ 邻居且每个 $o_{C_M}(v)$ 都是 $3$ 的倍数。有限子集条件包括空集；最后一项是否定的是存在一个同时满足全部所列条件的 $M$。